La secuencia canónica y la razón de la distribución de los números primos

Resumen

El presente artículo explica la sucesión de números primos a partir del reconocimiento de dos patrones que se sobreponen. El primer patrón es una secuencia que tiene esta forma: 1 + 4 + 2 + 4 +2 + 4 + 2 + 4 + 2… Dicha secuencia, a la que aquí se le ha dado el nombre de canónica, contiene dos conjuntos: a) todos los números primos (menos el 2 y el 3), y b) todos los números compuestos que tienen números primos como factores. Si el mecanismo del primer patrón se basa en la eterna alternancia de los sumandos 4 y 2, el mecanismo del segundo patrón, que redunda en la obtención de los elementos del conjunto b), se basa en la incesante multiplicación de cada número de la secuencia canónica, primero por sí mismo, y luego por todos los números canónicos que le siguen. Los números primos se reconocen, así, “en negativo”, como los vacíos que quedan tras la aplicación del segundo patrón, y, dado que ambos patrones se aplican de modo sistemático, los nuevos primos resultan perfectamente predecibles.

A partir del descubrimiento de estos dos patrones y su mecánica, se plantea la necesidad de redefinir el concepto de “número primo”, pues se llega a la conclusión de que la definición clásica no atiende a los aspectos esenciales que definen a los números primos, sino a una característica adjetiva de los mismos, de la que también son partícipes dos números que no deberían considerarse primos, por no atenerse a las reglas esenciales del juego: el 2 y el 3.

Cuando en la descripción se habla de series, para una mejor comprensión se aconseja remitirse a la tabla que aparece más abajo, donde se pueden visualizar las diversas series en columnas, y comprobarse que en todos los casos la multiplicación de cada número cabeza de serie, primero por sí mismo, y luego por todos y cada uno de los otros números de la secuencia canónica, es metódica.

* * *

De entrada, me veo obligado a repetirle al lector cosas que sabe de sobra. El propósito de esta repetición, que quizá parezca ociosa, es hacer énfasis en ciertos aspectos que finalmente se desenmascararán como el origen del error que ha impedido resolver el problema de la distribución de los números primos.

La definición dice que primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos posibles divisores: él mismo y el 1. El número 1, por convención, no se considera primo ni compuesto. Así pues, dejando de lado el 1, los primeros primos serán 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

Un vistazo general a los millones de números primos que se han logrado descubrir nos dice que todos, con la única excepción del 2, son impares, ninguno termina en 0 y tampoco en 5, salvo el mismo 5. De inmediato, esta observación vuelve sospechoso el número 2, pese a que, ciertamente, cumple con la regla de no tener más divisores que él mismo y el 1. En cambio, al 1 se lo considera sospechoso de no ser primo, por el hecho de que los dos divisiones que se le exigen son idénticos: 1.

En mi opinión, el gran problema que subyace a esta extraña serie comienza justamente por haber sido definida de modo equivocado. Pero como no tengo ninguna autoridad para modificar una de las series más afianzadas y estimadas por la tradición, dejaré los números primos intocados, con su definición clásica, y me ocuparé de una serie mayor que se destaca por las siguientes particularidades:

1. Incluye al 1 en la secuencia
2. Descarta los números 2 y 3
3. Aloja a todos los números primos y a los compuestos que son producto de los primos

Para diferenciarla, la llamaré secuencia canónica.

Comencemos por definirla, para entender el porqué de su elemental orden, que de paso explica el aparentemente extraño orden de los números primos y permite hallar estos con un simple algoritmo: se trata de una secuencia que comienza en 1 (lo que significa que este es un indudable número canónico primo, si bien tiene carácter neutro) y que consigue todos sus siguientes números mediante la alternancia de dos únicos sumandos: 4 y 2. Así, la secuencia canónica tiene la forma 1 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2… Los primeros números de la secuencia serían, entonces, 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…

Si no fuera porque no aparecen el 2 y el 3, juraríamos que estamos ante la serie de los números primos. Pero si queremos obtener el siguiente número, vemos que esta serie se ve “contaminada” con un número compuesto terminado en 5: el 25. Y poco después veremos que se encuentra “contaminada” por otros de similares características en las que el 5 participa como factor:

25, 35, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 175, 185, 205, 215, 235…

Según se observa, los números de esta serie infinita, a la que llamaremos serie del 5, están separados por intervalos alternantes de 10 y 20 (resultantes, naturalmente, de multiplicar su número base por 2 en un primer paso, y por 4 en el siguiente), y surgen de multiplicar el segundo número canónico (el 5), o número base de la serie, primero por sí mismo, y luego, sistemáticamente, por cada uno de los siguientes números canónicos.

Para detectar los números canónicos compuestos que alternan entre los que pertenecen a la serie del 5 debemos conformar innumerables series paralelas a la del cinco, cada una de las cuales tendrá como número base cada uno de los números canónicos identificados mediante la suma alternada de 2 y 4; dicho número base será sistemáticamente multiplicado, para comenzar, por sí mismo, y luego por los restantes números canónicos.

Así, la segunda serie, la del 7, queda conformada de la siguiente manera:

7, 49, 77, 91, 119, 133, 161, 175, 203, 217, 245, 259, 287, 301, 329, 343, 371, 385…

Como vemos, el primer paso de toda serie de la secuencia canónica consiste en multiplicar el número de base por sí mismo,[1] así que su siguiente irrupción en la secuencia será su cuadrado (se podría realizar una multiplicación retrospectiva con los números canónicos que le anteceden, pero es un trabajo redundante, porque los resultados ya habrán sido expuestos en las series precedentes). En cuanto a la distancia entre los resultados, si a es el número base, después del segundo número de la serie tiene la forma de a x 2 y a x 4, pareja que seguirá alternándose hasta el fin de los tiempos: 14, 28, 14, 28…

La tercera serie, del 11, al multiplicar su número base por sí mismo y luego por cada uno de los números canónicos que le siguen, queda conformada así:

11, 121, 143, 187, 209, 253, 275, 319, 341, 385, 407, 451, 473, 517, 539, 583, 605…

Ya sabemos que la distancia entre los resultados, después del segundo número de la serie, tiene la forma de a x 2 y a x 4, así que entre las cifras de esta serie se alternarán el 22 y el 44.

A estas alturas tenemos perfectamente claro que hasta el 169 no veremos irrumpir el segundo paso de la serie del 13, ya que 169 es su cuadrado, y que sus números estarán separados por la alternancia del 26 y el 52. Por su parte, 289 es el segundo paso de la quinta serie, por ser el cuadrado de 17, y la sexta serie, del 19, dará su segundo paso a la altura de su cuadrado: el 361.

Algo particularmente interesante es que todos los resultados de las multiplicaciones quedan inscritos en la secuencia canónica, es decir, se puede llegar a ellos sumando alternativamente 4 y 2.

Habiendo comprendido el sistema generador de la secuencia canónica y el modo como se obtienen sus números compuestos, concluimos que los números primos son un subconjunto de la secuencia canónica, que reúne dos requisitos:

1. El conjunto de los números primos está constituido por todos los números de la secuencia canónica (1 + 4 + 2 + 4 + 2…) que no son el producto de dos números canónicos precedentes. (El adjetivo "precedentes" es fundamental, pues sin él se anularía el concepto de número primo, o demostraría no ser más que un espejismo, ya que todos son el producto de sí mismos por el 1. El hecho de que ningún número se autopreceda garantiza la validez del concepto de número primo).
2. Integran a su serie los dígitos 2 y 3.

Esta última condición, según se puede concluir al observar la mecánica de la secuencia canónica, surge de un error en la definición de los números primos, así que si dicha definición se corrigiera expulsando del grupo los números 2 y 3, no habría necesidad de exponerla. Por ello, podría decirse que los números primos canónicos son un subconjunto de los clásicos números primos, diferente únicamente de este en que no admite a estos dos problemáticos ejemplares. Aunque lo ideal sería contar con un solo conjunto de números primos. Para ello habría que corregir la definición clásica, que se atiene no a los rasgos esenciales de los primos, sino a una particularidad más bien accidental: no ser divisibles sino por sí mismos y por el uno. Para hacer un símil, es como si definiéramos a la especie humana como la compuesta por animales bípedos. Si hiciéramos tal cosa, nos veríamos obligados a incluir entre los humanos a las aves y quizá a algunas especies más que no son aves. Caminar en dos extremidades no es el rasgo esencial o sustantivo del ser humano, sino una particularidad adjetiva que comparte con otros animales radicalmente distintos.

En el caso de los primos, soy de la opinión de que si infinitos números se ajustan a una definición  esencialista (pertenecer a la secuencia canónica y no ser el producto de dos números canónicos precedentes, condición que los dota de la particularidad adjetiva de no ser divisibles sino por sí mismos y por el uno), y dos que se supone deben pertenecer a dicho conjunto solo porque cumplen con la característica adjetiva, mas no se ajustan a los términos esenciales de la definición, esos dos deben ser expulsados del conjunto. Por ello propugnaría un único conjunto que coincidiera con lo que aquí se identifica como conjunto de los números primos canónicos.

El 1 es un número especial de la secuencia, que podríamos considerar neutro por el hecho de que al multiplicarse por sí mismo y por los demás números de la serie canónica no produce canónicos compuestos. El hecho de que es el indiscutible primer número de la secuencia parece suficiente argumento para considerarlo un número primo, aunque hay que admitir que su naturaleza es ambigua, porque podría ser entendido también como un número compuesto cuyos factores, paradójicamente, son iguales al producto.

La siguiente tabla muestra los números canónicos en las tres primeras centenas de los números naturales, o sea, se desarrolla hasta que la serie del 17 entra en juego.[2] Todos los números de la primera columna que no se encuentran destacados con color pertenecen al subconjunto de los números primos. Los destacados con color son los números compuestos de la secuencia canónica que se interponen entre los primos y que determinan su aparentemente extraña distribución.

Núm. canónico	Sumandos 4 y 2	Serie del 5	Serie del 7	Serie del 11	Serie del 13	Serie del 17
1	4
5	2
7	4
11	2
13	4
17	2
19	4
23	2
25	4	5 x 5
29	2
31	4
35	2	5 x 7
37	4
41	2
43	4
47	2
49	4		7 x 7
53	2
55	4	5 x 11
59	2
61	4
65	2	5 x 13
67	4
71	2
73	4
77	2		7 x 11
79	4
83	2
85	4	5 x 17
89	2
91	4		7 x 13
95	2	5 x 19
97	4
101	2
103	4
107	2
109	4
113	2
115	4	5 x 23
119	2		7 x 17
121	4			11 x 11
125	2	5 x 25
127	4
131	2
133	4		7 x 19
137	2
139	4
143	2			11 x 13
145	4	5 x 29
149	2
151	4
155	2	5 x 31
157	4
161	2		7 x 23
163	4
167	2
169	4				13 x 13
173	2
175	4	5 x 35	7 x 25
179	2
181	4
185	2	5 x 37
187	4			11 x 17
191	2
193	4
197	2
199	4
203	2		7 x 29
205	4	5 x 41
209	2			11 x 19
211	4
215	2	5 x 43
217	4		7 x 31
221	2				13 x 17
223	4
227	2
229	4
233	2
235	4	5 x 47
239	2
241	4
245	2	5 x 49	7 x 35
247	4				13 x 19
251	2
253	4			11 x 23
257	2
259	4		7 x 37
263	2
265	4	5 x 53
269	2
271	4
275	2	5 x 55		11 x 25
277	4
281	2
283	4
287	2		7 x 41
289	4					17 x 17
293	2
295	4	5 x 59
299	2				13 x 23
301	4		7 x 43

Naturalmente, siempre queda la duda de si a la altura de un número muy lejano el sistema deja de funcionar. Sabemos que eso dio al traste con la fórmula que logró Fermat para explicar el orden de aparición de los primos y que Euler refutó con solo un número: 4 294 967 297, que según la fórmula de Fermat debía ser primo, pero que resulta de multiplicar 641 por 6 700 417. Así pues, ese número es interesante para saber si el procedimiento aquí descrito replica la falla de la fórmula de Fermat. Desarrollada la serie canónica hasta el segundo factor (6 700 417), se observa que contiene tanto a este como al 641, lo que significa que obligadamente al multiplicarlos generarán un número compuesto, o sea, el número en el que Euler descubrió la falla de la fórmula de Fermat. Por el contrario, ese número, en el caso del procedimiento aquí descrito, afianza la seguridad de que este es un mecanismo acertado para obtener primos, pues basta que ambos factores estén incluidos en la secuencia canónica (y efectivamente lo están) para saber que su producto no es un primo, tal como lo denunció Euler.

La dificultad para reconocer el patrón de los números primos semeja la dificultad de reconocer los ritmos a los que se sujeta una serie de cuerpos tridimensionales dispuestos en filas de los que solo observamos su sombra. La primera columna de la tabla semeja el plano bidimensional (por ejemplo, una pared) donde solo vemos las sombras que proyectan unos cuerpos que danzan una muy bien pensada coreografía separados en diversas capas que se pierden hacia el fondo del escenario. Para colmo, de esa fila, los matemáticos han concentrado su mirada únicamente en los números no coloreados en la precedente tabla (las partes de la luz que se cuela entre las sombras), por ser los que les interesan. Es como si, puestos a cazar una bandada de patos, con su magnífica puntería se hubieran obstinado en disparar contra la luz que se filtra entre las alas de los pájaros y no contra las sombras que anuncian la presencia de los cuerpos. La segunda columna expone un patrón periódico elemental, monótono y cojo (4, 2, 4, 2…). Y las columnas de la derecha, que pueden ser infinitas, exponen los patrones de una serie de multiplicaciones que tienen sus propios períodos, cada vez más lentos,[3] y que son perfectamente predecibles.

Al contemplar el mecanismo de esta secuencia no he podido dejar de pensar en la forma musical del canon por aumentación (de ahí el nombre de “canónica” con que me he atrevido a llamar a la secuencia). Allí, contra dos golpes incesantes que bien podrían entenderse como el ostinato de un bajo, que duran una redonda y una blanca (la primera dura cuatro pulsos, y la segunda, dos pulsos),[4] un tema melódico es expuesto primero por una sola voz (la primera nota sería el 5²; los números previos de la secuencia solo son una introducción solitaria del ostinato). Poco después una segunda voz vuelve a exponer el mismo tema, solo que en otro tono (la primera nota sería el 7²) y con las figuras musicales más largas, pero perfectamente proporcionadas a las del tema expuesto por el 5. La tercera voz comienza en otra nota más distante, 11², y su tiempo es mucho más lento. Lo prodigioso y diabólico de este canon es que el número de voces, y su capacidad de ralentizar de manera perfectamente proporcionada el ritmo de la melodía, no tienen fin, como tampoco lo tiene el mismo tema melódico. Si trece voces de un canon de Robert Wilkinson tejen un prodigio fascinantemente complejo, podemos imaginar cuán prodigioso será un canon de infinitas voces que, para colmo, juegan por aumentación constante de la duración de sus notas.

Pero también podría compararse con un organismo que procura aferrarse a la vida reproduciéndose incesantemente (la serie canónica que se proyecta hacia el infinito para producir nuevos primos), pero que, como todos los seres vivos, tiene en sí mismo el germen de algo que la niega y busca su aniquilación: las multiplicaciones que, como francotiradores, disparan para eliminar posibles futuros primos. El escenario parece el de una caza eterna en la que una especie tiende a la extinción, aunque nunca acaba de extinguirse.

Comparaciones aparte, el más grave error de quienes han fracasado en el intento de comprender la secuencia de los primos ha consistido en buscarlos de modo directo, sin atender al contexto en el que se insertan, esto es, los números “contaminados” que ofrecen en sí la clave para descifrarlos. La solución consiste en buscar los compuestos que rodean a los primos (las sombras de los pájaros, no los destellos de luz entre sus cuerpos). Los compuestos son perfectamente predecibles, y un elemental algoritmo programado en una tabla Excel calcula de inmediato todos los números compuestos de la secuencia canónica, naturalmente, hasta el límite de celdas que permite este programa. Una vez hallados, lo único que hay que hacer es ordenarlos y contrastarlos con la serie canónica para ver los vacíos que se abren entre ellos. Esos vacíos, sin excepción, son números primos.

A mi juicio, ese grave error, que ha impedido encontrar la razón que explica el orden de los números primos, se basa en la definición, que obliga a considerar el 2 y el 3 como parte de la serie. La participación del 2 desconcierta por tratarse del único número par, todos cuyos compuestos serán pares (los números canónicos tienen dos características: su factorización siempre da por resultado un número impar; sin excepción, el resultado de la multiplicación se inscribe en la secuencia canónica. En cambio, en toda multiplicación en la que participe el 2, el resultado es un número par que, además, no se inscribe en la secuencia canónica; estas parecen sobradas razones para expulsarlo del grupo de los húmeros primos). La participación del tres impide reconocer el patrón de la serie producida por los sumandos 4 y 2, y dado que, en los varios miles de números en los que he puesto a prueba el procedimiento, ninguno ha exigido la serie del 3 para perfilar la vecindad de un primo, mientras no se pruebe esta necesidad, queda excusadamente excluido de la secuencia que permite ubicar primos canónicos.

Para sistematizar el asunto, el procedimiento para encontrar primos es sencillo: en una hoja de cálculo se crea la fórmula para que produzca la secuencia canónica. En las columnas siguientes se crean las fórmulas para que el programa realice las multiplicaciones de cada número base por sí mismo y por los demás de la secuencia. Se disponen los resultados en una sola columna y se ordenan de menor a mayor. Se eliminan todos los números de la secuencia canónica que se repitan en los resultados de las multiplicaciones de las series, es decir, los números compuestos. Los números sobrevivientes en la columna de la secuencia canónica son, todos, sin excepción, primos. Alguien con conocimientos de programación encontrará elemental la creación de los algoritmos para que un computador realice todas las tareas sin ayuda humana.

Si alguien quiere hacer en casa el ejercicio de probar si un número es primo con una lista limitada al alcance de una hoja de cálculo, puede descargar el archivo Excel anexo, en el que he realizado mis cálculos, y en el que puede encontrar desarrollado el sistema hasta el número 10 000. No obstante, si tiene conocimientos básicos de Excel podrá ampliar ese rango hasta donde el número de celdas de una hoja Excel se lo permita.

Al margen del interés que tiene la secuencia canónica para encontrar números primos, sus compuestos también resultan sumamente interesantes y dignos de ser estudiados, bien en sí mismos, bien en relación con los números primos (por ejemplo, para determinar la cantidad de veces que aparecen en una centena números canónicos compuestos y números primos —aunque todo parece indicar que lo mejor es formar bloques conformados por los números comprendidos entre el cuadrado de un número de base de una serie y el cuadrado del siguiente número de base—, para observar la fluctuación de unos y otros), por ejemplo, para tratar de hallar una pista que permita determinar si en todos los bloques hay siquiera un número primo, etc. Finalmente, bien vistos, los compuestos canónicos son una especie de antiprimos, y por ello resulta irresistible compararlos con alguno de esos dibujos de Escher en que alternan pájaros y peces o pájaros en positivo y pájaros en negativo.

 

Días después de haber escrito la pasada nota, y meditando en el problema de la exclusión del 2 y del 3, medida que parece intransigente, si se tiene a la vista que el hecho de que cumplan la definición clásica de los números primos garantiza su inclusión, me he planteado la posibilidad de incluirlos, para ver qué pasa. El resultado es que el 2 sería el primero en crear los puntos oscuros que rodean a los primos: ese número de entrada garantiza la exclusión de absolutamente todos los números pares que le siguen, incluidos los que terminan en cero. En cuanto al 3, excluiría de inmediato a su cuadrado, 9, y a todos sus múltiplos no incluidos en la que he llamado secuencia canónica, como el 21 o el 27, entre otros muchos. Estos dos números, así como el 5, cuyos múltiplos son fáciles de distinguir por terminar también en 5, ponen de presente que su exclusión reduce enormemente la dificultad para encontrar números primos, pues nos evitan una multitud de multiplicaciones o divisiones en nuestro propósito de hacer pruebas exhaustivas. Esta observación surge como una reacción a la tendencia a percibir que una inteligencia impersonal ha ideado desde principios de los tiempos una fórmula para producir los números primos. No hay tal inteligencia. La secuencia canónica, si tiene alguna validez, se debe al hecho de que elimina más de la mitad de los factores con los que se podrían probar los nuevos resultados, esto es, todos los números pares y los múltiplos del tres. Llegados a este punto resulta imposible no preguntarse por qué entonces no eliminar otros números. Y sí, es aconsejable eliminar todos los terminados en 5, pues sin necesidad de hacer pruebas ya sabemos que son múltiplos de 5. Si todos los múltiplos del 7 terminaran en 7 sin saltarse una sola decena, sería una excelente medida excluir también a todos los terminados en 7, etc.

Especulación final

A la vista de los primos, y teniendo en cuenta que no pueden dividirse sin producir números decimales, me veo tentado a proponer un “sistema numérico primo”, en el que cada número primo equivale a una unidad. Dispuestos en orden sucesivo en una línea, separados uno de otro exactamente por la misma distancia, igual que los centímetros en una regla, tendríamos que entre ellos aparecen de modo natural una especie de “decimales naturales”, que tendrían la particularidad de ser también números enteros. Así, entre un número primo y el siguiente estarían en calidad de “decimales enteros” (si se me permite el oxímoron) todos los números intermedios, algunos de los cuales serían “decimales canónicos” (por tales me refiero a los compuestos canónicos). Entre el 7 y el 11 habría tres “decimales naturales”, entre el 887 y el 907 habría veinte “decimales enteros”, seis de los cuales serían “decimales canónicos”. Los decimales podrían catalogarse en varios niveles: el primero sería el de los decimales canónicos, luego estarían los números que se intercalarían entre los canónicos, pertenecientes a la serie de los números naturales excluidos de la secuencia canónica; un tercer nivel serían los decimales naturales que todos conocemos. Si se aceptara tal propuesta, tendríamos lo que daría en llamar matemáticas onduladas, un sistema que se basaría en la siguiente equivalencia: 

1 = 1

2 = 5

3 = 7

4 = 11

5 = 13, etc. 

El adjetivo se debe a que, si bien los primos están ordenados en una recta (son unidimensionales), entre uno y otro surgirían ondulaciones en una segunda dimensión para dar lugar a los “decimales enteros” que puedan existir entre uno y otro. Todo el desarrollo matemático logrado hasta el presente, y el que se realice en el futuro, podría trasvasarse a ese sistema numérico, con extrañas e impredecibles consecuencias, dado su carácter no rígido e inestable, que contradice el del sistema tradicional matemático. Quizá llegara el día en que pudiera constatarse que ciertos fenómenos físicos de la naturaleza se ven perfectamente expresados, o quedan mejor expresados, por tal sistema.

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[1] Esto tiene relación con el procedimiento utilizado por los matemáticos, consistente en extraer la raíz cuadrada del número del que se quiere determinar si es o no primo, para probar solo con multiplicaciones cuyos factores estén por debajo del valor obtenido.

[2] Para llegar hasta el primer número que supere 1000 hay que desarrollar la tabla hasta la serie del 35; para llegar hasta 2000 hay que desarrollarla hasta la serie del 47; para llegar hasta 10 000 hay que desarrollarla hasta la serie del 101, etc.

[3] El segundo paso de la serie del 31, por ejemplo, corresponde al número 961, así que esa serie no produce ningún otro número compuesto en el primer millar de los números naturales; compuestos del 29 solo aparecen dos en ese mismo periodo: el 841 y el 899; de la serie del 23 aparecen ocho números compuestos, etc. Por su parte, el cuadrado de 47 apenas aparecerá a la altura de 2209.

[4] La sensación auditiva es exactamente la del ritmo que se reconoce en el ostinato de la Passacaglia de Bach (solo que comenzando por la segunda nota, que es la más larga), maestro cultor del canon y la fuga que con frecuencia usó el recurso de la aumentación de la duración de las notas en las voces que imitan a la primera para exponer en sus propios términos el tema melódico. Una casualidad más: el ostinato de la Passacaglia se expone en ocho compases, y son ocho los primos canónicos que anteceden al primer cuadrado (5²), si se excluye el 1, por ser neutro. Ahora, si asignamos a cada una de las notas de la escala pitagórica un número, veremos que la melodía de esos ocho primeros números primos no deja por fuera ninguna de las notas de la escala, en este orden: do, sol, si, fa, la, mi, sol, re. 

Llama la atención la repetición del sol (correspondiente al grado de la dominante, donde suelen comenzar las imitaciones en el estilo fugado), que para un músico, dado el patrón de intervalos que participan, resulta necesario, pues su segunda aparición permite conformar una melodía bastante agradable, con un claro sentido, si las notas las compactamos en una octava. Un músico también podría pensar que la doble aparición de la quinta de la escala (sol) en lugar del primer grado (do) sugiere que se está empleando el modo mixolidio. He aquí la expresión musical de los primeros primos, con el ritmo que subyace a la secuencia canónica (el último do lo he agregado para cerrar el sentido melódico tonal en el modo jónico):

 Creo que hay suficientes razones para verse tentado a pensar que la secuencia canónica es la expresión matemática de una pieza infinita de música polifónica que procede según el recurso de la polifonía canónica de la imitación por aumentación.